Jeudi 30 Juin
09h15 - Frits Beukers
(50mn)
Around E- and G-functions. (2/3)
10h30 - Gilles Christol
(50mn)
Fonctions algébriques modulo n. (2/3)
Le but de ces exposés est d'étudier l'ensemble des séries de $Q[[x]]$ qui sont algébriques modulo $n$ pour (presque) tout entier $n$. Ce sont aussi les séries $p$-automatiques modulo $p^h$ pour (presque) tout $p$ et tout $h$.
Le principal résultat est que toute série de $Z[[x]]$ qui est D-finie appartient à cet ensemble. Nous donnerons deux ``démonstrations'' (modulo des conjectures classiques) de ce résultat. Ceci nous amènera à étudier les relations entre Frobenius et équations différentielles ainsi que de faire allusion aux cohomologies $p$-adiques. Afin de rester le plus élémentaire possible, les complications techniques seront ignorées.
11h35 - masha vlasenko
(35mn)
Formal groups and congruences.
We give a criterion of integrality of a one-parametric formal group law in terms of congruences satisfied by the coefficients of its logarithm. We will discuss applications of this result such as p-adic analytic formulas for local invariants at p (the height and the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism of the reduction of the group law modulo p).
13h45 - Tanguy rivoal
(35mn)
Approximations rationnelles de valeurs de G-fonctions.
En utilisant des approximants de Padé non-diagonaux dans une construction classique de Chudnovsky et André, je montrerai comment obtenir une mesure de la distance d'une valeur de G-fonction F(a/b) aux rationnels de la forme n/(B*b^m). Il s'agit d'une mesure hybride : elle donne une mesure d'irrationalité au sens usuel (en choisissant convenablement B) mais aussi une mesure "à la Ridout" en prenant B=1. (Le résultat n'est toutefois pas aussi fort que celui de Ridout.) Il s'agit d'un travail en commun avec Stéphane Fischler (Orsay).
14h30 - Frédéric jouhet
(35mn)
Relations de dualité pour les séries hypergéométriques basiques.
Depuis les premières considérations dues à Gauss dans ce domaine, les fonctions hypergéométriques généralisées (à 2n paramètres) peuvent être construites comme solutions de l'équation différentielle hypergéométrique, qui est une équation Fuchsienne d'ordre n avec singularités en 0, 1 et l'infini. En me focalisant sur le cas n=2, je rappellerai comment les séries hypergéométriques basiques (ou q-séries) sont construites de façon analogue comme solutions d'équations aux q-différences. A chaque équation, on peut associer un Delta-module (ou module aux q-différences), et s'intéresser au dual. La structure particulière de ces équations q-hypergéométriques permet de relier explicitement les solutions et leurs duales, fournissant ainsi des formules très générales, certaines découvertes par Bailey, Sears ou Shukla autour de 1950, les autres semblant nouvelles.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Frits Beukers.
15h20 - Philippe Nadeau
(35mn)
Expressions réduites dans les groupes de Coxeter infinis.
Les groupes de Coxeter sont des groupes de réflexion généralisés qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques. Étant donné W un groupe de Coxeter infini et ses générateurs de Coxeter S, on considère Red(W,S), l'ensemble des mots sur S minimaux (réduits) représentant les éléments de W. Il s'agit autrement dit des géodésiques issues de l'identité dans le graphe de Cayley de (W,S).
Un résultat célèbre de Brink et Howlett nous dit que Red(W,S) est un langage rationnel. Les auteurs construisent pour démontrer cela un automate fini, défini à partir du système de racines de W. Nous introduisons dans cet exposé une famille d'automates reconnaissant également Red(W,S), mais dont la définition ne fait intervenir que les éléments de W. Nous énoncerons deux conjectures sur les automates considérés et leur minimalité.
Travail commun avec Christophe Hohlweg et Nathan Williams.
Mercredi 29 Juin
09h15 - Frits Beukers
(50mn)
Around E- and G-functions. (1/3)
In these three lectures we discuss three non-interdependent subjects connected to special values of E- and G-functions. One will be about E-functions, in particular the question about what they are and transcendence of values. The two others concern special values of G-functions, with
a strong emphasis on (Gaussian) hypergeometric functions.
10h30 - Gilles Christol
(50mn)
Fonctions algébriques modulo n. (1/3)
Le but de ces exposés est d'étudier l'ensemble des séries de $Q[[x]]$ qui sont algébriques modulo $n$ pour (presque) tout entier $n$. Ce sont aussi les séries $p$-automatiques modulo $p^h$ pour (presque) tout $p$ et tout $h$.
Le principal résultat est que toute série de $Z[[x]]$ qui est D-finie appartient à cet ensemble. Nous donnerons deux ``démonstrations'' (modulo des conjectures classiques) de ce résultat. Ceci nous amènera à étudier les relations entre Frobenius et équations différentielles ainsi que de faire allusion aux cohomologies $p$-adiques. Afin de rester le plus élémentaire possible, les complications techniques seront ignorées.
11h35 - Evgeniy Zorin
(35mn)
On Diophantine Properties of the Thue-Morse constant and its generalization.
A classical example of automatic numbers is the Thue-Morse constant. In this talk, we will discuss its Diophantine properties and than we will focus on emerging generalizations for certain families of regular numbers defined via infinite products. This talk is based on a joint work with Dzmitry Badziahin.
13h45 - Yann Bugeaud
(35mn)
Hankel determinants, Padé approximations, and irrationality exponents.
The irrationality exponent of an irrational number is in general very difficult to compute explicitly, unless we know its continued fraction expansion. We show that the irrationality exponents of large classes of automatic numbers and Mahler numbers (which are transcendental) are exactly equal to 2. These classes include the Thue-Morse-Mahler numbers, the regular paperfolding numbers, the Stern numbers and so on.
14h30 - maria carrizosa
(35mn)
Polarisations de degré borné sur les variétés abéliennes.
Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres. On sait qu'il existe un nombre fini de polarisations modulo automorphismes de degré donné sur A. On discutera le problème de borner ce nombre.
15h20 - Xavier roblot
(35mn)
La conjecture galoisienne de Brumer-Stark.
Soit K/k une extension abélienne de corps de nombres, la conjecture de Brumer-Stark prédit qu’un élément construit à partir de valeurs des fonctions L associées à cette extension annule le groupe de classes de K. Cette conjecture généralise le résultat classique de Stickelberger sur la factorisation des sommes de Gauss. Dans cet exposé, j’expliquerai d'abord le résultat de Stickelberger, puis comment ce résultat se généralise pour donner la conjecture de Brumer-Stark ainsi que l’ensemble des différents objets qui interviennent dans la conjecture. Ensuite, j’expliquerai comment, dans un travail en commun avec G. Dejou, nous avons généralisé cette conjecture au cas galoisien. Je donnerai pour finir un aperçu des résultats connus sur cette conjecture.
In these three lectures we discuss three non-interdependent subjects connected to special values of E- and G-functions. One will be about E-functions, in particular the question about what they are and transcendence of values. The two others concern special values of G-functions, with
a strong emphasis on (Gaussian) hypergeometric functions.
Vendredi 1er Juillet
09h15 - Frits Beukers
(50mn)
Around E- and G-functions. (3/3)
In these three lectures we discuss three non-interdependent subjects connected to special values of E- and G-functions. One will be about E-functions, in particular the question about what they are and transcendence of values. The two others concern special values of G-functions, with
a strong emphasis on (Gaussian) hypergeometric functions.
10h30 - Gilles Christol
(50mn)
Fonctions algébriques modulo n. (3/3)
Le but de ces exposés est d'étudier l'ensemble des séries de $Q[[x]]$ qui sont algébriques modulo $n$ pour (presque) tout entier $n$. Ce sont aussi les séries $p$-automatiques modulo $p^h$ pour (presque) tout $p$ et tout $h$.
Le principal résultat est que toute série de $Z[[x]]$ qui est D-finie appartient à cet ensemble. Nous donnerons deux ``démonstrations'' (modulo des conjectures classiques) de ce résultat. Ceci nous amènera à étudier les relations entre Frobenius et équations différentielles ainsi que de faire allusion aux cohomologies $p$-adiques. Afin de rester le plus élémentaire possible, les complications techniques seront ignorées.
11h35 - sara checcoli
(35mn)
Conjecture de Mordell explicite pour des familles de courbes.
La conjecture de Mordell, démontrée par G. Faltings, dit qu'une courbe de genre au moins 2 sur un corps de nombres k a seulement un nombre fini de points k-rationnels. Malheureusement, la preuve de cette conjecture n'est pas explicite, ni effective, c'est-à-dire qu'elle ne donne pas des bornes sur la "taille" de ces points, ni une méthode pour trouver une telle borne.
Les méthodes effectives dans ce contexte sont très rares et souvent difficiles à appliquer pour obtenir des résultats explicites.
Dans cet exposé je parlerai d'un travail en collaboration avec F. Veneziano et E. Viada dans lequel nous démontrons la conjecture de Mordell explicite pour des familles assez générales de courbes de genre croissant dans le produit ExE, où E est une courbe elliptique ayant un groupe de Mordell-Weil de rang 1. En particulier, nous montrons une méthode facile pour borner explicitement la hauteur de leurs points rationnels. Dans beaucoup de cas (plus de 10^4) les bornes obtenues sont si petites que l'on peut effectivement lancer une recherche à l'aide d'un ordinateur et trouver tous les points rationnels des courbes.
13h45 - patrice philippon
(35mn)
Approximations pour l'indépendance algébrique.
On fera le point sur les outils spécifiques aux démonstrations d'indépendance algébrique. Partant des critères pour l'indépendance algébrique on introduira les propriétés d'approximations qui en offrent une alternative naturelle, plus souple.
14h30 - driss essouabri
(35mn)
Fonctions multizêtas et applications à la géométrie des sous-ensembles autosimilaires de $\Z^n$.
Les fonctions zêtas traduisent divers problèmes de comptage (comptage des nombres premiers, comptage des solutions d’équations diophantiennes,..) en d’autres problèmes de prolongement analytique qui se prêtent mieux à l’analyse. Les théorèmes taubériens interprètent ensuite l’information analytique obtenue sur ces fonctions en information sur les problèmes de comptage de départ. Dans cet exposé, je donnerai plusieurs résultats nouveaux sur la géométrie et la combinatoire des sous-ensembles autosimilaires de $\Z^n$ (problèmes à la Falconer, à la ErdÅ‘s-Szemerédi, etc.). Je donnerai aussi une esquisse de la méthode utilisée qui combine :
- L’étude des propriétés analytiques d'une nouvelle classe de fonctions multizêtas fractales ;
-L’utilisation d’un nouveau théorème taubérien multivariables adapté aux singularités des fonctions multizêtas fractales ;
- Des résultats sur le comptage des points rationnels sur certaines variétés algébriques.
Travail en commun avec Ben Lichtin.
15h20 - olivier robert
(35mn)
Autour de la conjecture d'Artin pour les intersections de formes diagonales.
Dans les années 30, Emil Artin a émis une série de conjectures concernant l'existence de points p-adiques sur les surfaces projectives. Le statut de ces conjectures est incertain. Dans cet exposé nous commencerons par présenter en termes élémentaires la conjecture d'Artin à travers un exemple historique, puis nous nous intéresserons au cas de l'intersection d'une forme diagonale et d'un hyperplan, qui fait l'objet d'un travail récent en collaboration avec J. Brüdern. Nous expliquerons comment les méthodes de combinatoire additive interviennent dans ces problèmes.